ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ: ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅನಾವರಣಗೊಳಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಆಧುನಿಕ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿಯಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಪಾತ್ರ

ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು, "ಗಣಿತದ ರಾಣಿ" ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಮೀಸಲಾದ ಶುದ್ಧ ಗಣಿತದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಅಮೂರ್ತವೆಂದು ತೋರಿದರೂ, ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಅನೇಕ ನೈಜ-ಪ್ರಪಂಚದ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಿಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ. ಈ ಲೇಖನವು ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಡಿಜಿಟಲ್ ಜಗತ್ತನ್ನು ಸುರಕ್ಷಿತಗೊಳಿಸುವಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದರೇನು?

ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ವ್ಯಾಪಕ ಶ್ರೇಣಿಯ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:

• ಭಾಜ್ಯತೆ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು
• ಕಾಂಗ್ರುಯೆನ್ಸ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಅಂಕಗಣಿತ
• ಡಯೋಫಾಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು
• ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ
• ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ

ಮೂಲತಃ, ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಅದರ ಸೊಗಸಾದ ಪುರಾವೆಗಳು ಮತ್ತು ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನದ ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಅನಿರೀಕ್ಷಿತ ಸಂಪರ್ಕಗಳು ಇದನ್ನು ಆಕರ್ಷಕ ವಿಷಯವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತವೆ.

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು: ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ನಿರ್ಮಾಣದ ಘಟಕಗಳು

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದರೆ 1 ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, 1 ಮತ್ತು ಸ್ವತಃ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಭಾಜಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ಇತ್ಯಾದಿ. ಅವಿಭಾಜ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಯುಕ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ನಿರ್ಮಾಣದ ಘಟಕಗಳಾಗಿವೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುವಂತೆ, 1 ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3

30 = 2 × 3 × 5

100 = 2 × 2 × 5 × 5 = 2² × 5²

ಈ ಅನನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನವು ಅನೇಕ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿರುವ ತಳಹದಿಯಾಗಿದೆ.

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು ಶತಮಾನಗಳಿಂದ ಗಣಿತಜ್ಞರನ್ನು ಆಕರ್ಷಿಸಿದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಹಲವಾರು ವಿಧಾನಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ:

• ಪ್ರಯೋಗ ವಿಭಜನೆ: ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ n ಅನ್ನು 2 ರಿಂದ √n ವರೆಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೂ n ಅನ್ನು ಸಮವಾಗಿ ಭಾಗಿಸದಿದ್ದರೆ, n ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಸರಳವಾಗಿದೆ ಆದರೆ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅಸಮರ್ಥವಾಗಿದೆ.
• ಎರಾಟೋಸ್ಥೆನಿಸ್‌ನ ಜರಡಿ: ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪೂರ್ಣಾಂಕದವರೆಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಒಂದು ಸಮರ್ಥ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್. ಇದು ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಪ್ರತಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಗುಣಕಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ಗುರುತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.
• ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು: ಮಿಲ್ಲರ್-ರಾಬಿನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯತಾ ಪರೀಕ್ಷೆ (ಸಂಭವನೀಯ ಪರೀಕ್ಷೆ) ಮತ್ತು AKS ಅವಿಭಾಜ್ಯತಾ ಪರೀಕ್ಷೆ (ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪರೀಕ್ಷೆ) ನಂತಹ ಹೆಚ್ಚು ಅತ್ಯಾಧುನಿಕ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳನ್ನು ಬಹಳ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅವಿಭಾಜ್ಯವೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿತರಣೆ

ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ನಡುವೆ ಸಮವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿಲ್ಲ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ದೊಡ್ಡದಾದಂತೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ x ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅಂದಾಜು ಅಂದಾಜನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು π(x) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

π(x) ≈ x / ln(x)

ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿತರಣೆಯ ದೀರ್ಘಕಾಲೀನ ನಡವಳಿಕೆಯ ಒಳನೋಟಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.

ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿ: ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸುರಕ್ಷಿತಗೊಳಿಸುವುದು

ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿ ಎಂದರೆ ಪ್ರತಿಸ್ಪರ್ಧಿಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸುರಕ್ಷಿತ ಸಂವಹನಕ್ಕಾಗಿ ತಂತ್ರಗಳ ಅಭ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನ. ಆಧುನಿಕ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿಯು ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚು ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅನೇಕ ಎನ್‌ಕ್ರಿಪ್ಶನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವಹಿಸುತ್ತವೆ.

ಅನೇಕ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಭದ್ರತೆಯು ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯಾ-ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಗಣನಾತ್ಮಕ ಕಷ್ಟವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನ ಸಮಸ್ಯೆ ಮತ್ತು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಸಮಸ್ಯೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು “ಕಠಿಣ” ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಯಾವುದೇ ದಕ್ಷ (ಬಹುಪದೀಯ-ಸಮಯ) ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ.

RSA: ಸಾರ್ವಜನಿಕ-ಕೀ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿಯ ಮೂಲಾಧಾರ

RSA (ರಿವೆಸ್ಟ್-ಶಮೀರ್-ಅಡ್ಲೆಮನ್) ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅತ್ಯಂತ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಸಾರ್ವಜನಿಕ-ಕೀ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಅದರ ಭದ್ರತೆಯು ದೊಡ್ಡ ಸಂಯುಕ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಕಷ್ಟವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ.

RSA ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಸರಳೀಕೃತ ಅವಲೋಕನ ಇಲ್ಲಿದೆ:

1. ಕೀ ಉತ್ಪಾದನೆ:
   • ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ದೊಡ್ಡ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದ p ಮತ್ತು q ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ.
   • n = p × q ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ. ಇದು ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಆಗಿದೆ.
   • φ(n) = (p - 1) × (q - 1) ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ, ಇಲ್ಲಿ φ ಯೂಲರ್‌ನ ಟೋಟಿಯಂಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಗಿದೆ.
   • 1 < e < φ(n) ಮತ್ತು gcd(e, φ(n)) = 1 ಆಗಿರುವಂತೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕ e ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ (e ಮತ್ತು φ(n) ಸಹ-ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು). e ಎಂಬುದು ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಘಾತವಾಗಿದೆ.
   • e ಮಾಡ್ಯುಲೋ φ(n) ನ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಗುಣಾಕಾರದ ವಿಲೋಮವಾದ d ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ. ಅಂದರೆ, d × e ≡ 1 (mod φ(n)). d ಎಂಬುದು ಖಾಸಗಿ ಘಾತವಾಗಿದೆ.
   • ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಕೀ (n, e) ಆಗಿದೆ.
   • ಖಾಸಗಿ ಕೀ (n, d) ಆಗಿದೆ.
2. ಎನ್‌ಕ್ರಿಪ್ಶನ್:
   • ಒಂದು ಸಂದೇಶ m ಅನ್ನು (ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಎನ್‌ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಮಾಡಲು, c = m^e mod n ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ, ಇಲ್ಲಿ c ಸೈಫರ್‌ಟೆಕ್ಸ್ಟ್ ಆಗಿದೆ.
3. ಡೀಕ್ರಿಪ್ಶನ್:
   • ಸೈಫರ್‌ಟೆಕ್ಸ್ಟ್ c ಅನ್ನು ಡೀಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಮಾಡಲು, m = c^d mod n ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

RSAಯ ಸುರಕ್ಷತೆಯು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದ n ಅನ್ನು ಅದರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳಾದ p ಮತ್ತು q ಆಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು ಗಣನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ p ಮತ್ತು q ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದಾಗ (ನೂರಾರು ಅಥವಾ ಸಾವಿರಾರು ಅಂಕೆಗಳು). ಒಂದು ವೇಳೆ ದಾಳಿಕೋರನು n ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಅವರು ಸುಲಭವಾಗಿ φ(n) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ಖಾಸಗಿ ಕೀ d ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ: ನಾವು p = 61 ಮತ್ತು q = 53 ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ.

• n = 61 * 53 = 3233
• φ(n) = (61-1) * (53-1) = 60 * 52 = 3120
• ನಾವು e = 17 ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ (3120 ಕ್ಕೆ ಸಹ-ಅವಿಭಾಜ್ಯ).
• (17 * d) mod 3120 = 1 ಆಗಿರುವಂತೆ ನಾವು d ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ವಿಸ್ತೃತ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಬಳಸಿ, ನಾವು d = 2753 ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
• ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಕೀ: (3233, 17)
• ಖಾಸಗಿ ಕೀ: (3233, 2753)

ನಾವು ಸಂದೇಶ m = 123 ಅನ್ನು ಎನ್‌ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಮಾಡಲು ಬಯಸಿದರೆ, ಆಗ:

c = 123¹⁷ mod 3233 = 855

ಡೀಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಮಾಡಲು:

m = 855²⁷⁵³ mod 3233 = 123

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯು ವಿವರಣೆಗಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ನೈಜ-ಪ್ರಪಂಚದ RSA ಅನುಷ್ಠಾನಗಳು ಭದ್ರತೆಯನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಹೆಚ್ಚು ದೊಡ್ಡ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ.

ಡಿಫಿ-ಹೆಲ್ಮನ್ ಕೀ ವಿನಿಮಯ

ಡಿಫಿ-ಹೆಲ್ಮನ್ ಕೀ ವಿನಿಮಯವು ಒಂದು ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಪ್ರೋಟೋಕಾಲ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದು ಎರಡು ಪಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಅಸುರಕ್ಷಿತ ಚಾನೆಲ್ ಮೂಲಕ ಹಂಚಿದ ರಹಸ್ಯ ಕೀಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಈ ಹಂಚಿದ ರಹಸ್ಯವನ್ನು ನಂತರ ಸಮ್ಮಿತೀಯ-ಕೀ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಬಳಸಿ ನಂತರದ ಸಂವಹನಗಳನ್ನು ಎನ್‌ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಮಾಡಲು ಬಳಸಬಹುದು.

ಡಿಫಿ-ಹೆಲ್ಮನ್‌ನ ಭದ್ರತೆಯು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಕಷ್ಟವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ, ಇದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಅಂಕಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ.

ಇಲ್ಲಿ ಸರಳೀಕೃತ ವಿವರಣೆ ಇದೆ:

1. ಆಲಿಸ್ ಮತ್ತು ಬಾಬ್ ದೊಡ್ಡ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ p ಮತ್ತು ಬೇಸ್ g (ಇಲ್ಲಿ g ಎಂಬುದು p ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಒಂದು ಪ್ರಾಚೀನ ಮೂಲ) ಮೇಲೆ ಒಪ್ಪುತ್ತಾರೆ. p ಮತ್ತು g ಸಾರ್ವಜನಿಕವಾಗಿವೆ.
2. ಆಲಿಸ್ ಒಂದು ರಹಸ್ಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕ a ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ A = g^a mod p ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತಾಳೆ. ಆಲಿಸ್ A ಅನ್ನು ಬಾಬ್‌ಗೆ ಕಳುಹಿಸುತ್ತಾಳೆ.
3. ಬಾಬ್ ಒಂದು ರಹಸ್ಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕ b ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ B = g^b mod p ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತಾನೆ. ಬಾಬ್ B ಅನ್ನು ಆಲಿಸ್‌ಗೆ ಕಳುಹಿಸುತ್ತಾನೆ.
4. ಆಲಿಸ್ ಹಂಚಿದ ರಹಸ್ಯ ಕೀ s = B^a mod p ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತಾಳೆ.
5. ಬಾಬ್ ಹಂಚಿದ ರಹಸ್ಯ ಕೀ s = A^b mod p ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತಾನೆ.

ಆಲಿಸ್ ಮತ್ತು ಬಾಬ್ ಇಬ್ಬರೂ ತಮ್ಮ ರಹಸ್ಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾದ a ಮತ್ತು b ಅನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳದೆ ಒಂದೇ ಹಂಚಿದ ರಹಸ್ಯ ಕೀ s ಅನ್ನು ತಲುಪುತ್ತಾರೆ. p, g, A, ಮತ್ತು B ತಿಳಿದಿರುವ ಕದ್ದಾಲಿಸುವವನು a ಅಥವಾ b ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಹಂಚಿದ ರಹಸ್ಯ ಕೀ s ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ: p = 23 ಮತ್ತು g = 5 ಎಂದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

• ಆಲಿಸ್ a = 6 ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತಾಳೆ. A = 5⁶ mod 23 = 8
• ಬಾಬ್ b = 15 ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತಾನೆ. B = 5¹⁵ mod 23 = 19
• ಆಲಿಸ್ 8 ಅನ್ನು ಬಾಬ್‌ಗೆ ಕಳುಹಿಸುತ್ತಾಳೆ, ಮತ್ತು ಬಾಬ್ 19 ಅನ್ನು ಆಲಿಸ್‌ಗೆ ಕಳುಹಿಸುತ್ತಾನೆ.
• ಆಲಿಸ್ s = 19⁶ mod 23 = 2 ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತಾಳೆ
• ಬಾಬ್ s = 8¹⁵ mod 23 = 2 ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತಾನೆ

ಹಂಚಿದ ರಹಸ್ಯ 2 ಆಗಿದೆ. ಮತ್ತೆ, ನೈಜ-ಪ್ರಪಂಚದ ಅನುಷ್ಠಾನಗಳು ಹೆಚ್ಚು ದೊಡ್ಡ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ.

ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಕರ್ವ್ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿ (ECC)

ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಕರ್ವ್ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿ (ECC) ಎಂಬುದು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲಿನ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಕರ್ವ್‌ಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಸಾರ್ವಜನಿಕ-ಕೀ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಸಿಸ್ಟಮ್ ಆಗಿದೆ. ECC ಯು RSA ಗೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದಾದ ಭದ್ರತೆಯನ್ನು ಸಣ್ಣ ಕೀ ಗಾತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಮೊಬೈಲ್ ಸಾಧನಗಳು ಮತ್ತು ಎಂಬೆಡೆಡ್ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗಳಂತಹ ಸಂಪನ್ಮೂಲ-ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಪರಿಸರಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ECC ಸಹ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಕರ್ವ್ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಕಷ್ಟವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ.

ECC ಯಲ್ಲಿ, ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಘಾತೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸುವ ಬದಲು, ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಕರ್ವ್ ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು (ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರ) ಆಧರಿಸಿವೆ. ECC ಯ ಭದ್ರತೆಯು ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಕರ್ವ್ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಗಣನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ, ಇದು ಒಂದು ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಕರ್ವ್‌ನಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಬಂಧಿಸುವ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.

ECC ಅನ್ನು ವಿವಿಧ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ:

• ಡಿಜಿಟಲ್ ಸಹಿಗಳು (ಉದಾ., ECDSA)
• ಕೀ ವಿನಿಮಯ (ಉದಾ., ECDH)
• ಎನ್‌ಕ್ರಿಪ್ಶನ್

ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಭವಿಷ್ಯ

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳ ನಡೆಯುತ್ತಿರುವ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯು ಅನೇಕ ಪ್ರಸ್ತುತ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಗಮನಾರ್ಹ ಬೆದರಿಕೆಯನ್ನು ಒಡ್ಡುತ್ತದೆ. ಶೋರ್‌ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್, ಒಂದು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್, ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಅಪವರ್ತಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಇದು RSA, ಡಿಫಿ-ಹೆಲ್ಮನ್, ಮತ್ತು ECC ಅನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಮುರಿಯುತ್ತದೆ.

ಈ ಬೆದರಿಕೆಗೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ, ಸಂಶೋಧಕರು ಕ್ವಾಂಟಮ್-ನಂತರದ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿ (PQC) ಅನ್ನು ಸಕ್ರಿಯವಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುತ್ತಿದ್ದಾರೆ, ಇದು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳ ದಾಳಿಗೆ ನಿರೋಧಕವೆಂದು ನಂಬಲಾದ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಅನೇಕ PQC ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳು RSA ಮತ್ತು ECC ಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾದ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಲ್ಯಾಟಿಸ್-ಆಧಾರಿತ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿ, ಕೋಡ್-ಆಧಾರಿತ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿ, ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿ, ಮತ್ತು ಹ್ಯಾಶ್-ಆಧಾರಿತ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿ.

ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಯುಗದಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ, ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿಯಲ್ಲಿ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತಲೇ ಇರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲ್ಯಾಟಿಸ್-ಆಧಾರಿತ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿಗಾಗಿ ಲ್ಯಾಟಿಸ್‌ಗಳ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ, ಅಥವಾ ಹ್ಯಾಶ್-ಆಧಾರಿತ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿಗಾಗಿ ಹ್ಯಾಶ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ನೈಜ-ಪ್ರಪಂಚದ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳು

ಚರ್ಚಿಸಿದ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಜಾಗತಿಕವಾಗಿ ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ:

• ಸುರಕ್ಷಿತ ಆನ್‌ಲೈನ್ ವಹಿವಾಟುಗಳು: ನೀವು ಕ್ರೆಡಿಟ್ ಕಾರ್ಡ್ ಬಳಸಿ ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಖರೀದಿ ಮಾಡಿದಾಗ, ವಹಿವಾಟನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ HTTPS ಬಳಸಿ ಸುರಕ್ಷಿತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು TLS/SSL ಪ್ರೋಟೋಕಾಲ್‌ಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ. ಈ ಪ್ರೋಟೋಕಾಲ್‌ಗಳು ನಿಮ್ಮ ಬ್ರೌಸರ್ ಮತ್ತು ವೆಬ್ ಸರ್ವರ್ ನಡುವೆ ಸುರಕ್ಷಿತ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಕದ್ದಾಲಿಸುವುದರಿಂದ ರಕ್ಷಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ RSA ಅಥವಾ ECC ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ.
• ಡಿಜಿಟಲ್ ಸಹಿಗಳು: ಡಿಜಿಟಲ್ ದಾಖಲೆಗಳ ದೃಢೀಕರಣ ಮತ್ತು ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಡಿಜಿಟಲ್ ಸಹಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. RSA ಮತ್ತು ECDSA (ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಕರ್ವ್ ಡಿಜಿಟಲ್ ಸಿಗ್ನೇಚರ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್) ನಂತಹ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳು ನಕಲು ಮಾಡಲು ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಡಿಜಿಟಲ್ ಸಹಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು ಸಿಂಗಾಪುರದಂತಹ ದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಕಾನೂನುಬದ್ಧವಾಗಿ ಬದ್ಧವಾಗಿರುವ ಒಪ್ಪಂದಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಯುರೋಪಿಯನ್ ಯೂನಿಯನ್‌ನಲ್ಲಿ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ದಾಖಲೆಗಳ ಪರಿಶೀಲನೆಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
• ಸುರಕ್ಷಿತ ಸಂವಹನ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ಗಳು: ಸಿಗ್ನಲ್ ಮತ್ತು ವಾಟ್ಸಾಪ್‌ನಂತಹ ಅನೇಕ ಮೆಸೇಜಿಂಗ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ಗಳು ನಿಮ್ಮ ಸಂಭಾಷಣೆಗಳ ಗೌಪ್ಯತೆಯನ್ನು ರಕ್ಷಿಸಲು ಎಂಡ್-ಟು-ಎಂಡ್ ಎನ್‌ಕ್ರಿಪ್ಶನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ. ಈ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ಗಳು ಸುರಕ್ಷಿತ ಸಂವಹನ ಚಾನೆಲ್‌ಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಡಿಫಿ-ಹೆಲ್ಮನ್ ಕೀ ವಿನಿಮಯ ಅಥವಾ ECC ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ.
• ಕ್ರಿಪ್ಟೋಕರೆನ್ಸಿಗಳು: ಬಿಟ್‌ಕಾಯಿನ್‌ನಂತಹ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಕರೆನ್ಸಿಗಳು ವಹಿವಾಟುಗಳನ್ನು ಸುರಕ್ಷಿತಗೊಳಿಸಲು ಮತ್ತು ಡಿಜಿಟಲ್ ಆಸ್ತಿಗಳ ಮಾಲೀಕತ್ವವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸಲು ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಕರ್ವ್ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿಯನ್ನು (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, secp256k1 ಕರ್ವ್‌ನೊಂದಿಗೆ ECDSA) ಬಳಸುತ್ತವೆ. ಬಿಟ್‌ಕಾಯಿನ್‌ನ ಜಾಗತಿಕ ಪ್ರವೇಶಸಾಧ್ಯತೆ ಮತ್ತು ವಿಕೇಂದ್ರೀಕರಣವು ಈ ತತ್ವಗಳ ವ್ಯಾಪಕ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಉದಾಹರಿಸುತ್ತದೆ.
• VPNಗಳು (ವರ್ಚುವಲ್ ಪ್ರೈವೇಟ್ ನೆಟ್‌ವರ್ಕ್‌ಗಳು): VPNಗಳು ನಿಮ್ಮ ಸಾಧನ ಮತ್ತು ದೂರಸ್ಥ ಸರ್ವರ್ ನಡುವೆ ಸುರಕ್ಷಿತ ಟನಲ್‌ಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಪ್ರೋಟೋಕಾಲ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ, ಇದು ನಿಮ್ಮ ಇಂಟರ್ನೆಟ್ ಟ್ರಾಫಿಕ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿಬಂಧಿಸುವುದರಿಂದ ರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. VPNಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಎನ್‌ಕ್ರಿಪ್ಶನ್‌ಗಾಗಿ AES (ಅಡ್ವಾನ್ಸ್ಡ್ ಎನ್‌ಕ್ರಿಪ್ಶನ್ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್) ಮತ್ತು ಕೀ ವಿನಿಮಯಕ್ಕಾಗಿ RSA ಅಥವಾ ECC ನಂತಹ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ. ತೀವ್ರ ಸೆನ್ಸಾರ್‌ಶಿಪ್ ಇರುವ ದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಸುರಕ್ಷಿತ ಇಂಟರ್ನೆಟ್ ಪ್ರವೇಶಕ್ಕಾಗಿ VPNಗಳು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿವೆ.
• ಸುರಕ್ಷಿತ ಶೆಲ್ (SSH): SSH ಎಂಬುದು ಒಂದು ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ನೆಟ್‌ವರ್ಕ್ ಪ್ರೋಟೋಕಾಲ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದು ನಿಮಗೆ ದೂರಸ್ಥ ಸರ್ವರ್‌ಗಳನ್ನು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಪ್ರವೇಶಿಸಲು ಮತ್ತು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. SSH ದೃಢೀಕರಣ ಮತ್ತು ಕೀ ವಿನಿಮಯಕ್ಕಾಗಿ RSA ಮತ್ತು ECC ನಂತಹ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ.

ತೀರ್ಮಾನ

ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತವು, ತನ್ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಗಮನದೊಂದಿಗೆ, ಕೇವಲ ಒಂದು ಅಮೂರ್ತ ಗಣಿತದ ಶಿಸ್ತು ಅಲ್ಲ; ಇದು ಆಧುನಿಕ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿಯ ಮೂಲಭೂತ ಆಧಾರಸ್ತಂಭವಾಗಿದೆ. ಆನ್‌ಲೈನ್ ವಹಿವಾಟುಗಳನ್ನು ಸುರಕ್ಷಿತಗೊಳಿಸುವುದರಿಂದ ಹಿಡಿದು ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಸಂವಹನಗಳನ್ನು ರಕ್ಷಿಸುವವರೆಗೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನಮ್ಮ ಡಿಜಿಟಲ್ ಪ್ರಪಂಚದ ಗೌಪ್ಯತೆ, ಸಮಗ್ರತೆ ಮತ್ತು ದೃಢೀಕರಣವನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ತಂತ್ರಜ್ಞಾನವು ವಿಕಸನಗೊಳ್ಳುತ್ತಲೇ ಇದ್ದಂತೆ, ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯು ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ರಕ್ಷಿಸಲು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಸಮಾಜದಲ್ಲಿ ನಂಬಿಕೆಯನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಅತ್ಯಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್-ನಂತರದ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿಯಲ್ಲಿ ನಡೆಯುತ್ತಿರುವ ಸಂಶೋಧನೆ ಮತ್ತು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯು ಉದಯೋನ್ಮುಖ ಬೆದರಿಕೆಗಳ ಮುಖಾಂತರ ನಮ್ಮ ಡಿಜಿಟಲ್ ಭವಿಷ್ಯವನ್ನು ಸುರಕ್ಷಿತಗೊಳಿಸುವ ಬದ್ಧತೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ.

ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಲಿಕೆ

• ಪುಸ್ತಕಗಳು:
  • ಜಿ.ಎಚ್. ಹಾರ್ಡಿ ಮತ್ತು ಇ.ಎಂ. ರೈಟ್ ಅವರಿಂದ "ಆನ್ ಇಂಟ್ರೊಡಕ್ಷನ್ ಟು ದ ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ನಂಬರ್ಸ್"
  • ಡೇವಿಡ್ ಎಂ. ಬರ್ಟನ್ ಅವರಿಂದ "ಎಲಿಮೆಂಟರಿ ನಂಬರ್ ಥಿಯರಿ"
  • ಡೌಗ್ಲಾಸ್ ಸ್ಟಿನ್ಸನ್ ಮತ್ತು ಮೌರಾ ಪ್ಯಾಟರ್ಸನ್ ಅವರಿಂದ "ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿ ಥಿಯರಿ ಅಂಡ್ ಪ್ರಾಕ್ಟೀಸ್"
• ಆನ್‌ಲೈನ್ ಕೋರ್ಸ್‌ಗಳು:
  • ಕೋರ್ಸೆರಾ: ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿ I & II, ಡಾನ್ ಬೋನೆಹ್ (ಸ್ಟ್ಯಾನ್‌ಫೋರ್ಡ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ)
  • edX: ಇಂಟ್ರೊಡಕ್ಷನ್ ಟು ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿ, ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫ್ ಪಾರ್ (ರೂಹ್ರ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ ಬೋಕಮ್)
• ವೆಬ್‌ಸೈಟ್‌ಗಳು:
  • ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ: ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ, ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿ, RSA
  • ಖಾನ್ ಅಕಾಡೆಮಿ: ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ